1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Дан функционал J[y]= (1)
при граничных условиях у (а )= у , у (в) = у (2)
Задача отыскания экстремума этого функционала называется простейшей задачей вариационного исчисления. Основой для решения задачи является утверждение: Если функция у(х) дает экстремум (1) то она является решением уравнения Эйлера
Решение уравнения Эйлера – это семейство кривых у = у (х, С ,С ) которые называются экстремалями функционала (1). Константы С и С находятся из граничных условий (2).
Пример 1. .
□
(Рассматриваем как функцию трех переменных x, y, y).
а)
;
б) ;
в)
.
Составляем уравнение Эйлера
. Интегрируем дважды:
экстремали (множество кривых).
Используя краевые условия, находим
1 = C, 1= -216/6 +6 C+ C
.
Единственная экстремаль
Пример 2.
□ Уравнение Эйлера
или, с учетом .
Используем краевые условия:
e = C- C, 0= C – C/e -1, откуда C=-е, C=0.
Единственная экстремаль .■
2. ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
1. Дан функционал вида
Если функция у(х) дает экстремум данному функционалу , то она является решением уравнения Эйлера-Пуассона
Пример 3. .
□. Уравнение Эйлера-Пуассона, т.е. отсюда , .
Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:
D = 0,
A + B + C + D = 0, откуда A = 1, B = – 2, C= 1, D = 0.
3A + 2B + C= 0,
C = 1.
Получаем единственную экстремаль
.
Пример 4.
.
□ .
Уравнение Эйлера-Пуассона: ,
,
так что уравнение имеет вид
,
y=CCOSX + CSINX + C e + Ce
y = – CSINX + CCOSX + C e – Ce
Используем граничные условия:
C +C+C =1,
C+C- C = 0, из системы C==1, C=0, C =0, C=0.
C+Ce+Ce =0,
-C +Ce-Ce =-1.
Единственная экстремаль . ■
2. Дан функционал вида
Граничные условия
Экстремали находим из системы уравнений Эйлера
Пример 5.
, , .
□, , , ,
, , .
Система уравнений Эйлера имеет вид: y – y =0,
y – y = 0.
Рассмотрим второе уравнение , отсюда , аналогично .
Для определения констант используем граничные условия
C+C=1 откуда.
Ce+ C/e = e
C+C=1, C+ C/e = 1/e
откуда .
Получаем . ■
Задачи для самостоятельного решения
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
.
7. ,
.
8.
.
9.
.
ЗАДАНИЕ 1
а) Вычислить функционал для заданных функций и .
б) Написать уравнение Эйлера для функций (Таблица 1).
Таблица 1- Исходные значения.
N | |||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 | |||||
2 |
0 |
2 |
|||
3 |
1 |
2 |
|||
4 |
1 |
2 |
|||
5 | |||||
6 | |||||
7 | |||||
8 | |||||
9 |
0 |
||||
10 |
1 |
2 |
|||
11 |
1 |
2 |
|||
12 |
1 |
2 |
|||
13 |
0 |
1 |
|||
14 |
0 |
1 |
|||
15 |
1 |
2 |
|||
16 |
0 |
1 |
|||
17 |
1 |
2 |
|||
18 |
0 |
||||
19 |
1 |
2 |
|||
20 |
1 |
2 |
|||
21 |
1 |
2 |
|||
22 | |||||
23 |
1 |
2 |
|||
24 | |||||
25 |
0 |
1 |
ЗАДАНИЕ 2
Найти экстремали функционала
,
где номер по списку.
ЗАДАНИЕ 3
Найти экстремали функционала
N – Номер по списку.
3. ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Найти
Решение: К уравнению Эйлера добавляют естественные краевые условия
Замечание: Если один конец закреплен, например у(а) = с , – то естественное краевое условие записывают для другого конца
Пример 6.
Решение: Уравнение Эйлера
-2y + 4 соsx –
Найдем производную
На правом конце
В точке =
из данного равенства и используя граничные условия у(0)=0 , определяем
Экстремаль
4. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Найти
Решение:
1. Из уравнения Эйлера находим
2. Запишем условия трансверсальности (условия, что концы кривой лежат на заданных кривых).
Добавляя уравнения связи
решаем совместно, определяем и концы
Замечание: Если заданы обычные граничные условия для одного конца,
то условия трансверсальности записывается только для другого конца кривой.
Примеры 7.
Пример 1. .
□
.
Уравнение Эйлера .
Условие трансверсальности
т.к. то
C + (-1- C) 2 C = 0,
C 0 +C =0,
Cx + C = – x – 1.
Их системы находим C = -2 , C =0, x = 1.
Ответ:
. ■
Пример 8. .
□ .
Уравнение Эйлера , тогда
,
тогда .
Условия трансверсальности совместно с уравнениями связи, учитывая, что и :
+ (2x – C)C/ =0,
+1(1- C ) C/=0,
Cx +C = x,
Cx + C = x – 5.
Решаем совместно и получаем
.
Ответ: .■
Пример 9. Найти экстремали функционала
.
□ 1. Уравнение Эйлера ,
.
-
Естественное краевое условие в точке
.
Получаем систему
2(0/2 +C) = 0,
1/4 + C 1 + C = 0.
. ■
Задачи для самостоятельного решения
1. .
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
ЗАДАНИЕ 4
Дано: и .
Найти экстремаль и концы отрезка , (если , тогда ).
ЗАДАНИЕ 5
Дано: и . Найти экстремаль (Таблица 2).
Таблица 2- Исходные данные для задания 4 и 5
N А
1 2
3
4
5
6
1. 4
2. 5
3. 1
4. 3
5. 5
6. 1
7. 0
8. 4
9. 6
10. 1
11. 2
12. 3
13. 7
1 2
3
4
5
6
14. 2
15. 3
16. 6
17. 8
18. 9
19. 3
20. 5
21. 2
22. 7
23. 5
24. 7
25. 3
Библиографический список
-
Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 488 с.
-
Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1984. – 228 с.
-
Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А.И. Вариационное исчисление(задачи и упражнения). – М.: Наука, 1984. – 191 с.
-
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 т. – М.: Высшая школа, 1986. – т. 2. – 414 с.
-
Вуколов Э.А. и др. Сборник задач по математике для втузов. – М.: Наука, 1984. – 606 с.