Пусть d – диаметр бревна; х – ширина, а h – высота выпиленной из бревна прямоугольной балки. При любых х и h справедливо:

.

Тогда сопротивление изгибу равно:

.

Функция F принимает наибольшее значение на [0,d] при , т.е. при .
Так что балка должна иметь ширину  и высоту  (). Именно к такому отношению размеров и приводит описанный выше практический способ. Действительно, воспользовавшись тем, что катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, получим:

откуда следует, что 
2. По двум улицам движутся к перекрестку две автомашины с постоянными скоростями и₁ и и₂. Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстояниях а₁ и а₂ определить, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
Первая машина за время t будет находиться от перекрестка на расстоянии , вторая – на расстоянии . Так что, расстояние l между машинами определится в виде

.

Имеем

При  имеем .
При переходе через t₁  меняет знак с минуса на плюс Следовательно, в момент t₁ функция достигает минимума.
Отметим, что знаменатель  может обратиться в нуль только при условии , что соответствует случаю, когда машины должны встертиться на перекрестке. Не рассматривая этот частный случай, можно утверждать, что  в интервале (0;) имеет единственный эктремум (минимум). В силу предыдущего функция достигает своего наименьшего значения на указанном интервале в точке минимума.
3. Требуется огородить забором прямоугольный участок площадью S=1,5 га и затем разделить его таким же забором на две равные части. Определить размеры участка, при которых расход материалов на ограждение будет наименьшим.

1-й способ решения.
Примем за критерий эффективности общую длину забора

По условию xy=15000 м², следовательно, , тогда

Для определения l_min найдем :

Нетрудно проверить, что при x=100 м будет l_min.
Действительно, 
2-й способ решения.
Составим функцию Лагранжа

4. Указать размеры прямоугольного параллелепипеда наиболь­шего возможного объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой Н.

Обозначим размеры основания параллелепипеда через х и у и высоту через z. Тогда объем V=xyz. Используя то, что парал­ле­лепипед вписан в данный конус, можно найти соотношение между x, y, z, H и R. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и CAD находим:

откуда . Подставляя выражение для z в формулу объема, получим объем параллелепипеда как функцию двух переменных х и y:

.

Из рисунка видно, что х и у должны удовлетворять неравентсву

 или 

Таким образом, надо найти наибольшее значение  в замкнутой области (круг радиуса 2R).
Найдем стационарные точки внутри области:

откуда  и  . (Значения х=0 и у=0 не рассматриваем, так как в этом случае V=0.) Тогда  Объем при таких размерах равен: . Исследуем функцию  на границе области. Если , то V=0. Следовательно, полученные выше размеры  и  дают действи­тельно наибольший искомый объем.
Направленность всех приведенных примеров на формирование общепрофессиональных компетенций очевидна. С учетом междисциплинарных связей фундаментальная подготовка бакалавров, исходя из непрерывности образования, может осуществляться и при изучении дисциплин как общепрофессионального, так и профессионального модуля, а также дисциплин по выбору.