Пусть f(x, y, z) – функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части S₁…,S_n с площадями  и диаметрами d₁,…,d_n соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей S_i точку M_i(x_i, y_i, z_i), составим сумму

Которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x, y, z).
Если при  (где ) существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек M_i, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается

Если функция f(x, y, z) непрерывна, то интеграл

существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z=z(x,y), причем z(x,y) непрерывна, вместе со своими частыми производными z^’_x= z^’_x(x,y) и z^’_у = z^’_у(x,y), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:

Если поверхность S задана параметрически в виде , где x, у, z – непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости  то

где

Пусть S – гладкая материальная поверхность с плотностью . Пусть с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей

  

2) координаты центра тяжести поверхности

   где 

3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат

, , , .

Площадь поверхности S можно найти по формуле:

пл.S.

Если  - поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса m находится так:

Пусть S – гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция , и пусть в каждой точке M поверхности определено положительное направление нормали , ( - непрерывная вектор-функция).
Выберем ту сторону S⁺ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью  и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части S₁,…,S_n c диаметрами d₁,…,d_n. Обозначим через  площади соответствующих проекций частей S₁,…,S_n на плоскость О_ху , а через d – максимум из чисел d₁,…,d_n.. Выбрав в каждой части S_i произвольную точку M_i(x_i, y_i, z_i), составим сумму

которая называется интегральной суммой второго рода для функции  Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности ) при , который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек M_i, называется поверхностным интегралом второго рода от функции  по поверхности S и обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода

 и 

от непрерывных функций  и . Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Пусть теперь поверхность S имеет явное представление . Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D

Если выбрана противоположная сторона  поверхности S, то 

Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы

 и 

Примеры:
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где - сфера х²+у²+z²=R².
В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности  и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии  (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы , учитывая, что  Тогда

а область интегрирования – четверть круга  (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид
,  
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию  
На сфере  имеем:  Таким образом, данный интеграл равен

Ответ:  
Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где  - часть плоскости х+у+z=1, заключенная в первом октанте.

Поверхность  можно выразить явно:  где область D – треугольник, ограниченный прямыми х=0, у=0 и х+у=1. При этом,  Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен 1+х+z=1+х+(1-х-у)=2-у):

Ответ: 

3. Вычислить  где S – часть конической поверхности z²=x²+y², заключенной между плоскостями z=0 и z=1.
Имеем

  

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:

Областью интегрирования D является круг =1; поэтому

Ответ: 
4. Вычислить интеграл  по верхней стороне верхней половины сферы x²+y²+z²=R².
Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный окружностью x²+y²=R² . Уравнение верхней полусферы имеет вид ; следовательно,  Переходя к полярным координатам, получим

При вычислении  была сделана подстановка , откуда 
Ответ: 

5. Найти момент инерции полусферы  относительно оси Оz.
Имеем

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, т.е. круг x²+y² = а²; поэтому, переходя к полярным координатам, получим

Ответ: 

1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.

Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»