Для начала дадим некоторые основные процедуры и функции:
Restart - начинать с каждой новой задачи. ^ - возведение в степень, / – деление, * – умножить, <shift+enter>- переход на другую строку без вычислений,< enter>- переход на другую строку с вычислением, := – оператор присваивания, floor(x)- целая часть х, Рlot (%) – печать графика последней функции , если (%%)-предпоследней и т.д. Другие варианты, более сложные, покажем далее; sqrt(X) -, sec(X) –секанс, sin(X)-синус, exp(x) -e
, csc(X)- косеканс, cos(X)-косинус, ln(x) – натуральный логарифм, tan(X)-тангенс, log[d](X)-логарифм по основанию d, log10x – десятичный логарифм, arctan(x)-арктангенс , arctcot(x)-арккотангенс, cot(X) –котангенс.
Лабораторная работа N 1.
Вычисление производных.
Оператор diff (), -параметры процедуры: функция от которой берут производную, и переменная по которой берут производную.
ПРИМЕР1. diff (sin(x),x); < enter> ответ: cos(x)
Plot (%);< enter> график косинуса
ПРИМЕР2. Найти производную
Y= (xsina+cosa) (xcosa-sina),
Можно сначала определить функцию следующим образом
Y:=x->(x*sin(a)+cos(a)*(x*cos(a)-sin(a)) ; < enter>
diff(Y(x),x) ); < enter>
Plot (%) ;< enter>
ПРИМЕР 3. y=[x] cos(10x)
Y: =x->floor(x)*cos(10*pi*x); < enter>
diff( Y(x),x ); < enter>
Plot (%) ;< enter>
Можно использовать оператор D.
D (SIN); ОТВЕТ COS или D (sin(x)); ответ cos(x).
ПРИМЕР 4.
Y=
Производная от кусочно-гладкой функции с помощью процедуры
PIECEWISE (…) в ней последний интервал не указывается
Y: =X-> PIECEWISE(X<1, 1-X, X<=2, (1-X)*(2-X),-2+X); < enter>
F: =X->diff(Y(X),X) ; < enter>
F(X); < enter>
plot ([Y(X),F(X)]);< enter> графики функции и производной.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. 11.
;
2. 12.
;
3. 13.
;
4. 14.
;
5. 15.
;
6. ; 16.
;
7. ; 17.
;
8. ; 18.
;
9. ; 19.
;
10. ; 20.
.
21. ![]() |
26. ![]() |
22. ![]() |
27. ![]() |
23. ![]() |
28. ![]() |
24. ![]() |
29. ![]() |
25. ![]() |
30. ![]() |
Лабораторная работа N 2.
Процедура двумерной графики
Для двумерной графики используются процедуры plot(), если функции заданы явно или параметрически и implicitplot()- для неявно заданных функций. В таблице (Табл.1) даны некоторые параметры, которые могут использоваться для построения графиков.
Табл.1 Параметры процедуры plot()
Параметр | Описание |
title | Заголовок рисунка – строка символов, переход на новую строку обозначается n |
titlefont | ШРИФТ заголовка. Тип- TIMES,COURIER, HELVETICA,SYMBOL. Стиль – ROMAN –прямой, BOLD – жирный, ITALIC-курсив. Размер шрифта в пунктах, пункт=1/72 дюйма. |
thickness | Толщина линии. По умолчанию 10 пунктов. |
labers | Надпись на осях. Это список из двух строк. Первая – надпись для оси абсцисс, вторая – для оси ординат. |
color | Цвет линии графика. Black- Черный, blue- синий, navy-темно-синий, coral-красный , cyan-голубой, green-зеленый, gray-серый, |
linestyle | Стиль линии. От1 до 4, что одно и то же из названий: SOLID- Сплошная, DOT-пунктир, DASH- штрихованная, DASHDOT-штрихпунктир. |
legend | Легенда графика.Если графиков много , тогда задается список – строки легенды этих графиков |
simbol | Тип символа для отображения графика. BOX- Квадрат, CROSS- крест, CIRCLE- круг, POINT-точка, DIAMOND- ромб. |
Пример 1. Найти производную и построить графики функции и ее производной
y:=x – >piecewise(abs(x)<1,x^2*exp(-x^2),1>abs(x),1/exp(1));
f:=diff(y(x),x);
plot([y(x),f],x=-2 . .2,color[GREEN,NAVY], linestyle=[SOLID,DASHDOT],title=”кусочно-гладкая функция”,
titlefont=[COURIER,BOLD,15],legend=[“y(x)”,”производная”]);
Пример 2. Найти производную и построить график функции и ее производной, если функция задана параметрически x=2cos2t, y=5sin2t,
x:=2*cos(t);
y:=5*sin(t);
f:=diff(y,t)/diff(x,t);
plot([x,y,t=0 . . 2*pi],[x,f,t=0. .2*pi],-2 . .2,-8 . .+8,
color=[RED,BLUE],style=[POINT,LINE],symbol=DIAMOND,
title=”параметрическая функция n и ее производная”,
titlefont=[COURIER,BOLD,15]);
Списки в операторе plot в [ ] содержат три элемента: две переменные, зависящие от t и область изменения t . Наличие трех элементов уже говорит о параметрической зависимости.
Пример 3. Нарисовать график функции
implicitplot(x^2/16+y^2/9=1, x=-4. .4, y=-3. .3, thickness=2,
title=”неявно заданная функция”,
titlefont=[COURIER,BOLD,15] );
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
N – НОМЕР ПО СПИСКУ.
1. Кардиоида или
2.Циклоида или
3.Эвольвента круга
4.Астроида или
.
5.Четырехлепестковая роза , или
.
6. Улитка Паскаля
или
7. Строфоида или
8.Циссоида
9. Лемниската или
10.Овал Кассини
Лабораторная работа N 3.
Вычисление производных от функций заданных неявно.
Для вычисления производных от функций заданных неявно предусмотрена процедура implicitdiff(). Первый параметр – заданное выражение, второй – функция, от которой берется производная, третий – переменная по которой производная берется.
Пример 1. Найти производную
implicitdiff(x^2+2*x*y-y^2=2*x,y,x);
===============================================на экране
Можно построить график с помощью процедуры implicitplot(). Но иногда нужно подключить процедуру plots с помощью команды with().
with(plots);
implicitplot(x^2+2*x*y-y^2=2*x,x=-5. .5,y=-5. .5);
Пример 2. Найти производную функции в точке
x=2, y=4.
Зададим уравнение
F:=x^2/a^2+y^2/b^2=1;
Далее вычисляем производную
FX:= implicitdiff(F,y,x);
Присваиваем переменным заданные значения
x:=2;
y:=4;
%%%- выполнение пред-предпоследней команды (третья снизу)
‘производная в точке’=%%%;
===============================================на экране
производная в точке =
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ЗАДАНИЕ 1. Вычислить программно и проверить аналитически
1., 2.
3. 4.
5. 6.
7., 8.
9. 10.
ЗАДАНИЕ 2. Найти производную функций в заданной точке и проверить аналитически.
1., 2.
3. 4.
5. 6.
7., 8.
9. 10.
Лабораторная работа N4.
Интегралы.
Int(…)- неактивная форма для вывода информации в символьном виде;
int(…) – активная форма для вычисления интеграла.
ПРИМЕР 1. Вычисление может быть таким – в операторах описан интеграл и переменная интегрирования.
Int(exp(alpha*x)*(cos(b*x),x)=int(exp(alpha*x)*cos(b*x),x); < enter>
Ответ. =
Определенный интеграл вычисляется так
ПРИМЕР 2.
Int(x^2*cos(x),x=0..2*pi)=int(x^2*cos(x),x=0..2*pi); < enter>
Ответ . =4
ПРИМЕР 3.
Int(x*ln(x)/((1+x^2)^2),x=0..infinity)=int(x*ln(x)/((1+x^2)^2),x=0..infinity);
< enter>
Ответ. =0
ПРИМЕР 4. Найти интеграл и построить графики функции и интеграла
f:=x- >piecewise(x<0,1,x<=1,x+1,2*x);
f(x); проверка записи
F: =x->int(f(x),x);
F(x); проверка записи
Печать графиков
plot ([f(x),F(x)], x=-1. .2,
color=[RED,NAVY], linestyle=[DOT,SOLID],
thickness=2, title=”кусочно-гладкая функция n и ее интеграл”,
titlefont=[TIMES,BOLD,15],legend=[“функция”,”интеграл”]);
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. 10.
19.
2 11.
20.
3.dx 12.
4. 13.
5. 14.
6. 15.
7. 16.
8. 17.
9. 18.
Библиографический список
- Васильев А.Н. Самоучитель Maple 8.:-М.: Издательский дом “Вильямс”,2003.-352с.
- Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. М.,Высшая школа,1994.
- Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. Издание 4.,М., “Высшая школа”,1966.