Пусть f(x, y, z) – функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части S1…,Sn с площадями и диаметрами d1,…,dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму
Которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x, y, z).
Если при (где ) существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается
Если функция f(x, y, z) непрерывна, то интеграл
существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z=z(x,y), причем z(x,y) непрерывна, вместе со своими частыми производными z’x= z’x(x,y) и z’у = z’у(x,y), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:
Если поверхность S задана параметрически в виде , где x, у, z – непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости то
где
Пусть S – гладкая материальная поверхность с плотностью . Пусть с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей
2) координаты центра тяжести поверхности
3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат
, , , .
Площадь поверхности S можно найти по формуле:
Если - поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса m находится так:
Пусть S – гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция , и пусть в каждой точке M поверхности определено положительное направление нормали , ( - непрерывная вектор-функция).
Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части S1,…,Sn c диаметрами d1,…,dn. Обозначим через площади соответствующих проекций частей S1,…,Sn на плоскость Оху , а через d – максимум из чисел d1,…,dn.. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму
которая называется интегральной суммой второго рода для функции Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности ) при , который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, называется поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхности S и обозначается
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода
от непрерывных функций и . Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается
Пусть теперь поверхность S имеет явное представление . Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D
Если выбрана противоположная сторона поверхности S, то
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
Примеры:
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где - сфера х2+у2+z2=R2.
В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы , учитывая, что Тогда
а область интегрирования – четверть круга (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид
,
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию
На сфере имеем: Таким образом, данный интеграл равен
Ответ:
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где - часть плоскости х+у+z=1, заключенная в первом октанте.
Поверхность можно выразить явно: где область D – треугольник, ограниченный прямыми х=0, у=0 и х+у=1. При этом, Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен 1+х+z=1+х+(1-х-у)=2-у):
Ответ:
3. Вычислить где S – часть конической поверхности z2=x2+y2, заключенной между плоскостями z=0 и z=1.
Имеем
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:
Областью интегрирования D является круг =1; поэтому
Ответ:
4. Вычислить интеграл по верхней стороне верхней половины сферы x2+y2+z2=R2.
Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный окружностью x2+y2=R2 . Уравнение верхней полусферы имеет вид ; следовательно, Переходя к полярным координатам, получим
При вычислении была сделана подстановка , откуда
Ответ:
5. Найти момент инерции полусферы относительно оси Оz.
Имеем
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, т.е. круг x2+y2 = а2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим
Ответ:
Библиографический список
- Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
- Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
- Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.