Пусть d – диаметр бревна; х – ширина, а h – высота выпиленной из бревна прямоугольной балки. При любых х и h справедливо:

.

Тогда сопротивление изгибу равно:

.

Функция F принимает наибольшее значение на [0,d] при , т.е. при .
Так что балка должна иметь ширину  и высоту  (). Именно к такому отношению размеров и приводит описанный выше практический способ. Действительно, воспользовавшись тем, что катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, получим:

откуда следует, что 
2. По двум улицам движутся к перекрестку две автомашины с постоянными скоростями и₁ и и₂. Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстояниях а₁ и а₂ определить, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
Первая машина за время t будет находиться от перекрестка на расстоянии , вторая – на расстоянии . Так что, расстояние l между машинами определится в виде

.

Имеем

При  имеем .
При переходе через t₁  меняет знак с минуса на плюс Следовательно, в момент t₁ функция достигает минимума.
Отметим, что знаменатель  может обратиться в нуль только при условии , что соответствует случаю, когда машины должны встертиться на перекрестке. Не рассматривая этот частный случай, можно утверждать, что  в интервале (0;) имеет единственный эктремум (минимум). В силу предыдущего функция достигает своего наименьшего значения на указанном интервале в точке минимума.
3. Требуется огородить забором прямоугольный участок площадью S=1,5 га и затем разделить его таким же забором на две равные части. Определить размеры участка, при которых расход материалов на ограждение будет наименьшим.

1-й способ решения.
Примем за критерий эффективности общую длину забора

По условию xy=15000 м², следовательно, , тогда

Для определения l_min найдем :

Нетрудно проверить, что при x=100 м будет l_min.
Действительно, 
2-й способ решения.
Составим функцию Лагранжа

4. Указать размеры прямоугольного параллелепипеда наиболь­шего возможного объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой Н.

Обозначим размеры основания параллелепипеда через х и у и высоту через z. Тогда объем V=xyz. Используя то, что парал­ле­лепипед вписан в данный конус, можно найти соотношение между x, y, z, H и R. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и CAD находим:

откуда . Подставляя выражение для z в формулу объема, получим объем параллелепипеда как функцию двух переменных х и y:

.

Из рисунка видно, что х и у должны удовлетворять неравентсву

 или 

Таким образом, надо найти наибольшее значение  в замкнутой области (круг радиуса 2R).
Найдем стационарные точки внутри области:

откуда  и  . (Значения х=0 и у=0 не рассматриваем, так как в этом случае V=0.) Тогда  Объем при таких размерах равен: . Исследуем функцию  на границе области. Если , то V=0. Следовательно, полученные выше размеры  и  дают действи­тельно наибольший искомый объем.
Направленность всех приведенных примеров на формирование общепрофессиональных компетенций очевидна. С учетом междисциплинарных связей фундаментальная подготовка бакалавров, исходя из непрерывности образования, может осуществляться и при изучении дисциплин как общепрофессионального, так и профессионального модуля, а также дисциплин по выбору.

Формирование рабоче-профессиональных компетенций в ходе обучения бакалавров профессионального обучения возможно только при создании специальной образовательной среды, включающей необходимое оборудование, оснастку и методическое обеспечение учебного процесса [2, 3].

Для этого в учебный план бакалавров обучающихся по профилизации «Технология и оборудование машиностроения» включена дисциплина «Практикум по профессии», которая ориентирована на формирование рабочее-профессиональных компетенций по профессии «Оператор станков с программным управлением». Занятия по дисциплине «Практикум по профессии» проводятся с использованием различных методов обучения и технологий, таких как уроки, производственные экскурсии, занятия в учебном классе и производственных мастерских. Практико-ориентированная подготовка проводиться в специализированном учебном классе, оснащенном персональными компьютерами, имитирующими рабочее место оператора станков с ЧПУ, мультимедийным проектором и токарно-фрезерным станком EMCO 325ЕТ,  а также специальным методическим обеспечением, в котором пошагово раскрываются вопросы программирования, наладки и настройки станка с ЧПУ и отработки на станке управляющих программ [1, 6].

Обучение в специализированном классе по программированию оборудования позволяет каждому студенту индивидуально работать на рабочем месте, используя специальное программное обеспечение. Программное обеспечение позволяет имитировать работу оператора станков с ЧПУ по разработке управляющей программы и её корректировке. Теоретические знания студенты получают при изучении методического обеспечения по каждой теме, а практические знания закрепляют с использованием тренажеров, имитирующих стойку станка с ЧПУ. Использование такого тренажера помогает раскрыть практическую значимость изучаемого материала и усиливает мотивацию и интерес к изучаемой дисциплине [1, 4].

Программа учебной дисциплины «Практикум по профессии» включает в себя следующие разделы:

1. Общее устройство станков с программным управлением

2. Основные сведения о программировании обработки на станках с ЧПУ

3. Специальные функции и циклы программирования

4. Программирование токарной обработки на станках с ЧПУ

5. Программирование фрезерной и сверлильной обработки на станках с ЧПУ

6. Наладка и настройка станка с ЧПУ, отработка и коррекция управляющих программ.

В ходе обучения по дисциплине «Практикум по профессии» указанные разделы реализуются следующим образом.

В начале обучения студенты изучают интерфейс станка, правила разработки  управляющих программ, знакомятся с подготовительными и вспомогательными функциями, постоянными циклами, применяемыми в программировании в системе ЧПУ «Siemens». На занятиях при изучении теоретического материала преподаватель ориентирует студентов на конкретный материал: соблюдение последовательности обработки поверхностей, последовательность программирования управляющей программы, правила использования постоянных циклов и их назначение.

При практических работах студенты индивидуально выполняют задание по разработке управляющей программы, используя полученные теоретические знания [1, 5]. Студенты получают одинаковые задания, но в процессе занятия преподаватель может дифференцировать студентов по уровню их самостоятельности выполнения задания. В ходе работы на тренажере студенты демонстрируют свои умения анализировать чертеж, представлять технологический процесс изготовления детали, осуществлять подбор современного режущего инструмента и режимов резания под определенный материал детали, создавать управляющую программу и её корректировать.

При отработке управляющей программы на симуляторе студенты могут увидеть свои недочеты и их исправить. Весь процесс обучения преподаватель может контролировать со своего рабочего компьютера, включенного в сеть или непосредственно на рабочем месте студента. Процесс обучения студентов предусматривает все уровни усвоения знаний и умений, результатом которого является выпускная квалификационная работа. По окончании курса обучения и сдачи квалификационного экзамена студентам присваивается рабочий разряд по профессии «Оператор станков с программным управлением».

Таким образом, реализация описанной методики и методических приемов по обучению студентов по дисциплине «Практикум по профессии», а также использование практико-ориентированных технологий позволяет говорить об эффективности формирования рабоче-профессиональных компетенций бакалавров в рамках дисциплины «Практикум по профессии».

Приведенная методика была апробирована в ходе подготовки бакалавров по образовательной программе  «Технологии и оборудование машиностроения».

Результаты апробации позволяют судить о достаточно высоком уровне сформированности рабоче-профессиональных компетенций у студентов, что подтверждает высокую эффективность методики формирования рабоче-профессиональных компетенций бакалавров в ходе обучения по профессии «Оператор станков с программным управлением».