Метод дискретизации заключается в разбиении интервала существования переменной управления на равные промежутки, задаваемые шагом дискретизации. Для каждой точки интервала рассчитывается значение целевой функции. Затем происходит выбор значения поисковой переменной, соответствующего оптимальному значению критерия оптимизации. Уменьшая шаг дискретизации и сужая промежуток ограничения, можно получить ответ необходимой точности, однако практически всегда он будет лишь приближенным. Метод дискретизации является, в некотором смысле, полуавтоматическим. Для того, чтобы прийти к окончательному ответу, необходимо проанализировать полученную числовую таблицу. Кроме того, метод дискретизации приемлем только для задач с одной переменной управления. Изучение данной темы на уроках информатики играет роль пропедевтики и реализации преемственности для освоения в дальнейшем понятия производной функции и решения задач на поиск наибольшего/наименьшего значения [1,2].

Рассмотрим пример.

Из бревна вырезают балку наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если известен радиус сечения бревна.

Объект моделирования – система, состоящая из двух более простых объектов: бревно и балка. Связь между объектами системы определяется при установлении размеров сечения балки, вырезаемой из бревна. Так как никакие иные свойства балки, кроме ее размера, не являются существенными для решения задачи, будем считать, что эти размеры и характеризуют систему.

Очевидно, что сечение бревна имеет круглую форму. Предположим, что балка имеет форму параллелепипеда. Задачу можно переформулировать следующим образом: найти длину и ширину прямоугольника, вписанного в окружность известного радиуса, так чтобы площадь этого прямоугольника была наибольшей.

Параметры объектов системы представим в виде таблицы:

Пусть ширина прямоугольника – переменная управления, а длина прямоугольника – поисковая переменная. Функция S будет целевой функцией.

Длина и ширина прямоугольника будут являться сторонами прямоугольного треугольника, а его гипотенуза – диаметр окружности. Используя теорему Пифагора, выразим длину через ширину и радиус. Очевидно, что значение ширины не может превышать длину диаметра. Таким образом, получим математическую модель:

.

Пример решения задачи при r=20 см и шаге дискретизации 2 представлен на рис. 1.

Из результатов таблицы видно, что максимальная площадь будет получена при приблизительной ширине равной 28 см и длине, равной 28,57 см. Сужая промежуток изменения ширины и уменьшая шаг дискретизации, получим более точное решение.

Проведение компьютерного эксперимента для различных значений радиуса позволяет установить закономерность, заключающуюся в том, что наиболее оптимальное решение получается, когда значения длины и ширины практически равны, то есть сечением балки является квадрат.

Большое количество задач по данной теме содержится в работах Ю.П. Штепы [3-7].

Для закрепления умений решать задачи оптимизационного моделирования методом дискретизации можно использовать следующие задачи:

1. Лодка находится на озере на известном расстоянии от ближайшей точки берега. На некотором расстоянии от этой точки на берегу находится село, которого желает достигнуть пассажир лодки. При этом он собирается сначала плыть на лодке, а потом пройти оставшееся расстояние пешком. Определить местонахождение пункта берега, к которому должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время.

2. Кусок проволоки известной длины сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

3. Известна длина изгороди земельного участка. При каких размерах участка его площадь будет наибольшей?

4. При каких размерах открытого бака для жидкостей при известном объеме на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

5. При постройке дачи нужно было отгородить дачный участок. Материала имелось на 148 погонных метров изгороди. Кроме того, можно было воспользоваться ранее построенным забором (в качестве одной из сторон участка). Как при этих условиях отгородить прямоугольный участок наибольшей площади?

6. Садовый участок имеет площадь 300 м2. При каких размерах участка будет затрачено наименьшее количество штакетника?

7. Бумажному змею, имеющему вид кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он при определенном периметре вмещал наибольшую площадь. Какова должна быть форма сектора?

8. Из жестяного круга известной площади нужно изготовить коническую часть воронки. Для этого в круге вырезают сектор и остальную часть круга свертывают конусом. Сколько градусов должно быть в дуге вырезаемого сектора, чтобы конус получился наибольшей вместимости?

9. Для перевозки корма требуется спроектировать контейнер объемом 1 кубометр в форме прямоугольного открытого сверху параллелепипеда. Желательно, чтобы на его изготовление затрачивалось как можно меньше материала. Чтобы контейнер было удобно брать автопогрузчиком, его ширина должна быть не менее 1,5 м. Найти оптимальные размеры контейнера.

10. Почтовые отделения России принимают к отправке посылку, если она имеет форму прямоугольного параллелепипеда (ящика), который можно обернуть шпагатом длиной не более 3,6 м (дважды поперек и один раз вдоль ящика). Каков наибольший объем посылки?

11. Почта США принимает посылки, у которых дина и обхват поперек длины в сумме не превышают 72 дюйма. При каких допустимых размерах объем посылки будет наибольшим?

12. Для строительства бассейна в загородном доме имеется в наличии определенное количество кафеля для облицовки дна и стенок. Каковы оптимальные размеры бассейна с точки зрения его объема? Какой вариант формы бассейна наиболее выгодный?

1. Баженова Н.Г., Михайлова Т.А. Пропедевтическая работа учителя математики в рамках содержательной линии «Функции» // Мир науки, культуры, образования. 2011. № 5. С. 221-223.
2. Баженова Н.Г., Одоевцева И.Г. Проблема преемственности требований к результатам образования // European Social Science Journal. 2013. № 12-2 (39). С. 64-69.
3. Штепа Ю.П. Методика обучения старшеклассников решению задач по информационному моделированию в контексте новых образовательных результатов: монография. – Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2010. 101 с.
4. Штепа Ю.П. Решение задач прогнозирования и оптимизации в школьном курсе информатики // Информатика и образование. 2008. № 9. С. 37-48.
5. Штепа Ю.П. Решение задач прогнозирования и оптимизации в школьном курсе информатики // Информатика и образование. 2008. № 10. С. 39-47.
6. Штепа Ю.П. Решение задач прогнозирования и оптимизации в школьном курсе информатики // Информатика и образование. 2008. № 11. С. 39-50.
7. Штепа Ю.П. Информационное моделирование: сборник задач. – Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, 2008. 64 с.

Все статьи автора «Терских Александра Петровна»