УДК 519

ПРИЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ЧАСТЬ 2

Рабчук Александр Викторович1, Самигуллина Ракия Гареевна2
1Уфимский государственный авиационный технический университет, кандидат технических наук, доцент кафедры математики
2Уфимский государственный авиационный технический университет, старший преподаватель кафедры математики

Аннотация
Традиционно, такие разделы высшей математики как поверхностные интегралы, особенно их применение, вызывают затруднения у студентов при изучении. В первой части мы рассмотрели криволинейные интегралы. А в данной статье кратко дана теория о поверхностных интегралах и приведено много разобранных примеров взятых из различных источников, в частности из [1,2,3].

Ключевые слова: интеграл поверхностный, интегральная сумма, момент инерции, параметрическое уравнение, статический момент, центр тяжести


SUPPLEMENT SURFACE INTEGRAL. PART 2

Rabchuk Aleksandr Viktorovich1, Samigullina Rakiya Gareevna2
1Ufa State Aviation Technical University, PhD in Technical Science, Assistant Professor of the Mathematic Department
2Ufa State Aviation Technical University, Senior teacher of the Mathematic Department

Abstract
By tradition, devises higher mathematics by surface integrals, particularly application, is difficult by students. In part 1 we examine contour integrals. But this article give theory on surface integrals and many look into examples from [1, 2, and 3].

Keywords: center of area, inertia, integral sum, parametric equation, static moment, surface integral


Библиографическая ссылка на статью:
Рабчук А.В., Самигуллина Р.Г. Приложения поверхностных интегралов. Часть 2 // Современная педагогика. 2015. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://pedagogika.snauka.ru/2015/02/3714 (дата обращения: 26.05.2017).

Поверхностные интегралы первого и второго рода

Пусть f(x, y, z) – функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части S1…,Sn с площадями  и диаметрами d1,…,dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму

Которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x, y, z).
Если при  (где ) существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается

Если функция f(x, y, z) непрерывна, то интеграл

существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z=z(x,y), причем z(x,y) непрерывна, вместе со своими частыми производными zx= zx(x,y) и zу = zу(x,y), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:

Если поверхность S задана параметрически в виде , где x, у, z – непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости  то

где

  

Приложения поверхностного интеграла первого рода

Пусть S – гладкая материальная поверхность с плотностью . Пусть с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей

  

2) координаты центра тяжести поверхности

   где 

3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат

.

Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода

Площадь поверхности S можно найти по формуле:

пл.S.

Если  - поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса m находится так:

Пусть S – гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция , и пусть в каждой точке M поверхности определено положительное направление нормали , ( - непрерывная вектор-функция).
Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью  и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части S1,…,Sc диаметрами d1,…,dn. Обозначим через  площади соответствующих проекций частей S1,…,Sна плоскость Оху , а через d – максимум из чисел d1,…,dn.. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму

которая называется интегральной суммой второго рода для функции  Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности ) при , который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, называется поверхностным интегралом второго рода от функции  по поверхности S и обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода

 и 

от непрерывных функций  и . Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается

Пусть теперь поверхность S имеет явное представление . Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D

Если выбрана противоположная сторона  поверхности S, то 

Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы

 и 

Примеры:
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где - сфера х22+z2=R2.
В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности  и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии  (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы , учитывая, что  Тогда


а область интегрирования – четверть круга  (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид
 
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию  
На сфере  имеем:  Таким образом, данный интеграл равен


Ответ:  
Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где  - часть плоскости х+у+z=1, заключенная в первом октанте.

Поверхность  можно выразить явно:  где область D – треугольник, ограниченный прямыми х=0, у=0 и х+у=1. При этом,  Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен 1+х+z=1+х+(1-х-у)=2-у):

Ответ: 

3. Вычислить  где S – часть конической поверхности z2=x2+y2, заключенной между плоскостями z=0 и z=1.
Имеем

  

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:

Областью интегрирования D является круг =1; поэтому

Ответ: 
4. Вычислить интеграл  по верхней стороне верхней половины сферы x2+y2+z2=R2.
Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный окружностью x2+y2=R. Уравнение верхней полусферы имеет вид ; следовательно,  Переходя к полярным координатам, получим

При вычислении  была сделана подстановка , откуда 
Ответ: 

5. Найти момент инерции полусферы  относительно оси Оz.
Имеем

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, т.е. круг x2+y2 = а2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим

Ответ: 


Библиографический список
  1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
  2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
  3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.


Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: