1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Дан функционал J[y]= (1)

при граничных условиях у (а )= у , у (в) = у (2)

Задача отыскания экстремума этого функционала называется простейшей задачей вариационного исчисления. Основой для решения задачи является утверждение: Если функция у(х) дает экстремум (1) то она является решением уравнения Эйлера

Решение уравнения Эйлера – это семейство кривых у = у (х, С ,С ) которые называются экстремалями функционала (1). Константы С и С находятся из граничных условий (2).

Пример 1. .

□

(Рассматриваем как функцию трех переменных x, y, y).

а)
;

б) ;

в)
.

Составляем уравнение Эйлера

. Интегрируем дважды:

экстремали (множество кривых).

Используя краевые условия, находим

1 = C, 1= -216/6 +6 C+ C

.

Единственная экстремаль    

Пример 2.

□ Уравнение Эйлера

или, с учетом .

Используем краевые условия:

e = C- C, 0= C – C/e -1, откуда C=-е, C=0.

Единственная экстремаль .■

2. ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

1. Дан функционал вида

Если функция у(х) дает экстремум данному функционалу , то она является решением уравнения Эйлера-Пуассона

Пример 3. .

□. Уравнение Эйлера-Пуассона, т.е. отсюда , .

Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:

D = 0,

A + B + C + D = 0, откуда A = 1, B = – 2, C= 1, D = 0.

3A + 2B + C= 0,

C = 1.

Получаем единственную экстремаль

.

Пример 4.

.

□ .

Уравнение Эйлера-Пуассона: ,

,

так что уравнение имеет вид

,

y=CCOSX + CSINX + C e + Ce

y = – CSINX + CCOSX + C e – Ce

Используем граничные условия:

C +C+C =1,

C+C- C = 0, из системы C==1, C=0, C =0, C=0.

C+Ce+Ce =0,

-C +Ce-Ce =-1.

Единственная экстремаль . ■

2. Дан функционал вида

Граничные условия

Экстремали находим из системы уравнений Эйлера

Пример 5.
, , .

□, , , ,

, , .

Система уравнений Эйлера имеет вид:      y – y =0,

y – y = 0.

Рассмотрим второе уравнение , отсюда , аналогично .

Для определения констант используем граничные условия

C+C=1 откуда.

Ce+ C/e = e

C+C=1, C+ C/e = 1/e

откуда .

Получаем . ■

Задачи для самостоятельного решения

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6.

.

7. ,

.

8.

.

9.

.

ЗАДАНИЕ 1

а) Вычислить функционал для заданных функций и .

б) Написать уравнение Эйлера для функций (Таблица 1).

Таблица 1- Исходные значения.

N
1	2	3	4	5	6
1
2				0	2
3				1	2
4				1	2
5
6
7
8
9				0
10				1	2
11				1	2
12				1	2
13				0	1
14				0	1
15				1	2
16				0	1
17				1	2
18				0
19				1	2
20				1	2
21				1	2
22
23				1	2
24
25				0	1

ЗАДАНИЕ 2

    Найти экстремали функционала

,

где номер по списку.

ЗАДАНИЕ 3

Найти экстремали функционала

N – Номер по списку.

3. ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ

Найти

Решение: К уравнению Эйлера добавляют естественные краевые условия

Замечание: Если один конец закреплен, например у(а) = с , – то естественное краевое условие записывают для другого конца

Пример 6.

Решение: Уравнение Эйлера

-2y + 4 соsx –

Найдем производную

На правом конце

В точке =
из данного равенства и используя граничные условия у(0)=0 , определяем

Экстремаль

4. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Найти

Решение:

1. Из уравнения Эйлера находим

2. Запишем условия трансверсальности (условия, что концы кривой лежат на заданных кривых).

Добавляя уравнения связи

решаем совместно, определяем и концы

Замечание: Если заданы обычные граничные условия для одного конца,

то условия трансверсальности записывается только для другого конца кривой.

Примеры 7.

Пример 1. .

□
.

Уравнение Эйлера .

Условие трансверсальности

т.к. то

C + (-1- C) 2 C = 0,

C 0 +C =0,

Cx + C = – x – 1.

Их системы находим C = -2 , C =0, x = 1.

Ответ:
. ■

Пример 8. .

□ .

Уравнение Эйлера , тогда

,

тогда .

Условия трансверсальности совместно с уравнениями связи, учитывая, что и :

+ (2x – C)C/ =0,

+1(1- C ) C/=0,

Cx +C = x,

Cx + C = x – 5.

Решаем совместно и получаем

.

Ответ: .■

Пример 9. Найти экстремали функционала

.

□ 1. Уравнение Эйлера ,

.

1. Естественное краевое условие в точке
   .
   

   Получаем систему
   

   2(0/2 +C) = 0,
   

   1/4 + C 1 + C = 0.
   

   
   

   . ■
   

        Задачи для самостоятельного решения
   

   1. .
   

   2.
   

   3.
   

   4.
   

   5.
   

   6.
   

   7.
   

   8.
   

   9.
   

   10.
   

   
   ЗАДАНИЕ 4
   

   
   Дано: и .
   

   Найти экстремаль и концы отрезка , (если , тогда ).
   

    

   ЗАДАНИЕ 5
   

   Дано: и . Найти экстремаль (Таблица 2).
   

   Таблица 2- Исходные данные для задания 4 и 5
   

   N					А
   1	2	3	4	5	6
   1.					4
   2.					5
   3.					1
   4.					3
   5.					5
   6.					1
   7.					0
   8.					4
   9.					6
   10.					1
   11.					2
   12.					3
   13.					7
   1	2	3	4	5	6
   14.					2
   15.					3
   16.					6
   17.					8
   18.					9
   19.					3
   20.					5
   21.					2
   22.					7
   23.					5
   24.					7
   25.					3

1. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 488 с.
2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1984. – 228 с.
3. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А.И. Вариационное исчисление(задачи и упражнения). – М.: Наука, 1984. – 191 с.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 т. – М.: Высшая школа, 1986. – т. 2. – 414 с.
5. Вуколов Э.А. и др. Сборник задач по математике для втузов. – М.: Наука, 1984. – 606 с.

Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»