1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Дан функционал J[y]= (1)
при граничных условиях у (а )= у , у (в) = у
(2)
Задача отыскания экстремума этого функционала называется простейшей задачей вариационного исчисления. Основой для решения задачи является утверждение: Если функция у(х) дает экстремум (1) то она является решением уравнения Эйлера
Решение уравнения Эйлера – это семейство кривых у = у (х, С ,С
) которые называются экстремалями функционала (1). Константы С
и С
находятся из граничных условий (2).
Пример 1. .
□
(Рассматриваем как функцию трех переменных x, y, y
).
а)
;
б) ;
в)
.
Составляем уравнение Эйлера
. Интегрируем дважды:
экстремали (множество кривых).
Используя краевые условия, находим
1 = C, 1= -216/6 +6 C
+ C
.
Единственная экстремаль
Пример 2.
□ Уравнение Эйлера
или, с учетом .
Используем краевые условия:
e = C- C
, 0= C
– C
/e -1, откуда C
=-е, C
=0.
Единственная экстремаль .■
2. ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
1. Дан функционал вида
Если функция у(х) дает экстремум данному функционалу , то она является решением уравнения Эйлера-Пуассона
Пример 3. .
□. Уравнение Эйлера-Пуассона,
т.е.
отсюда
,
.
Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:
D = 0,
A + B + C + D = 0, откуда A = 1, B = – 2, C= 1, D = 0.
3A + 2B + C= 0,
C = 1.
Получаем единственную экстремаль
.
Пример 4.
.
□ .
Уравнение Эйлера-Пуассона: ,
,
так что уравнение имеет вид
,
y=CCOSX + C
SINX + C
e
+ C
e
y = – C
SINX + C
COSX + C
e
– C
e
Используем граничные условия:
C +C
+C
=1,
C+C
- C
= 0, из системы C==1, C
=0, C
=0, C
=0.
C+C
e
+C
e
=0,
-C +C
e
-C
e
=-1.
Единственная экстремаль . ■
2. Дан функционал вида
Граничные условия
Экстремали находим из системы уравнений Эйлера
Пример 5.
,
,
.
□,
,
,
,
,
,
.
Система уравнений Эйлера имеет вид: y – y
=0,
y – y
= 0.
Рассмотрим второе уравнение , отсюда
, аналогично
.
Для определения констант используем граничные условия
C+C
=1 откуда
.
Ce+ C
/e = e
C+C
=1, C
+ C
/e = 1/e
откуда .
Получаем . ■
Задачи для самостоятельного решения
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
.
7. ,
.
8.
.
9.
.
ЗАДАНИЕ 1
а) Вычислить функционал для заданных функций
и
.
б) Написать уравнение Эйлера для функций (Таблица 1).
Таблица 1- Исходные значения.
N |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
5 | ![]() |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
0 |
|
10 |
|
|
|
1 |
2 |
11 |
|
|
|
1 |
2 |
12 |
|
|
|
1 |
2 |
13 |
|
|
|
0 |
1 |
14 |
|
|
|
0 |
1 |
15 |
|
|
|
1 |
2 |
16 |
|
|
|
0 |
1 |
17 |
|
|
|
1 |
2 |
18 |
|
|
|
0 |
|
19 |
|
|
|
1 |
2 |
20 |
|
|
|
1 |
2 |
21 |
|
|
|
1 |
2 |
22 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
1 |
2 |
24 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
0 |
1 |
ЗАДАНИЕ 2
Найти экстремали функционала
,
где номер по списку.
ЗАДАНИЕ 3
Найти экстремали функционала
N – Номер по списку.
3. ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
Найти
Решение: К уравнению Эйлера добавляют естественные краевые условия
Замечание: Если один конец закреплен, например у(а) = с , – то естественное краевое условие записывают для другого конца
Пример 6.
Решение: Уравнение Эйлера
-2y + 4 соsx –
Найдем производную
На правом конце
В точке =
из данного равенства и используя граничные условия у(0)=0 ,
определяем
Экстремаль
4. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Найти
Решение:
1. Из уравнения Эйлера находим
2. Запишем условия трансверсальности (условия, что концы кривой лежат на заданных кривых).
Добавляя уравнения связи
решаем совместно, определяем и концы
Замечание: Если заданы обычные граничные условия для одного конца,
то условия трансверсальности записывается только для другого конца кривой.
Примеры 7.
Пример 1.
.
□
.
Уравнение Эйлера .
Условие трансверсальности
т.к.
то
C + (-1- C
) 2 C
= 0,
C 0 +C
=0,
Cx
+ C
= – x
– 1.
Их системы находим C = -2 , C
=0, x
= 1.
Ответ:
. ■
Пример 8. .
□ .
Уравнение Эйлера , тогда
,
тогда .
Условия трансверсальности совместно с уравнениями связи, учитывая, что и
:
+ (2x
– C
)C
/
=0,
+1(1- C
) C
/
=0,
Cx
+C
= x
,
Cx
+ C
= x
– 5.
Решаем совместно и получаем
.
Ответ: .■
Пример 9. Найти экстремали функционала
.
□ 1. Уравнение Эйлера ,
.
-
Естественное краевое условие в точке
.
Получаем систему
2(0/2 +C
) = 0,
1/4 + C
1 + C
= 0.
. ■
Задачи для самостоятельного решения
1.
.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
ЗАДАНИЕ 4
Дано:и
.
Найти экстремаль
и концы отрезка
, (если
, тогда
).
ЗАДАНИЕ 5
Дано:
и
. Найти экстремаль
(Таблица 2).
Таблица 2- Исходные данные для задания 4 и 5
N А
1 2
3
4
5
6
1. 4
2. 5
3. 1
4. 3
5. 5
6. 1
7. 0
8. 4
9. 6
10. 1
11. 2
12. 3
13. 7
1 2
3
4
5
6
14. 2
15. 3
16. 6
17. 8
18. 9
19. 3
20. 5
21. 2
22. 7
23. 5
24. 7
25. 3
Библиографический список
-
Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 488 с.
-
Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1984. – 228 с.
-
Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А.И. Вариационное исчисление(задачи и упражнения). – М.: Наука, 1984. – 191 с.
-
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 т. – М.: Высшая школа, 1986. – т. 2. – 414 с.
-
Вуколов Э.А. и др. Сборник задач по математике для втузов. – М.: Наука, 1984. – 606 с.