УДК 517.97(07)

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ЧАСТЬ 1

Абдрахманов Валий Габдрауфович1, Рабчук Александр Викторович2, Князева Наталья Григорьевна3
1Уфимский государственный авиационный технический университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
2Уфимский государственный авиационный технический университет, кандидат технических наук, доцент кафедры математики
3Уфимский государственный авиационный технический университет, ассистент кафедры математики

Аннотация
В настоящее время уделяется большое внимание развитию робототехнических, авиационных и космических систем. Поэтому весьма актуальным является изучение таких разделов математики как теория оптимального управления, в частности, вариационного исчисления, которое является основой данной теории. Количество публикаций, связанных с практикой по данной теме, не является достаточным. Поэтому авторы уделили внимание решению задач по вариационному исчислению, используя собственные разработки и задачи из [1-5]. Данный материал может быть полезен инженерам, студентам, аспирантам которые занимаются теорией и практикой управления сложными техническими объектами.

Ключевые слова: вариационное исчисление, оптимальность, система, теория, управление, уравнение Эйлера, функционал, экстремаль


SOLUTION OF SOME PROBLEMS OF VARIATIONAL CALCULUS. PART 1

Abdrakhmanov Vali Gabdraufovich1, Rabchuk Aleksandr Viktorovich2, Knyazeva Natalya Grigoryevna3
1Ufa State Aviation Technical University, PhD in Physicist and Mathematic Science, Assistant Professor of the Mathematic Department
2Ufa State Aviation Technical University, PhD in Technical Science, Assistant Professor of the Mathematic Department
3Ufa State Aviation Technical University, assistant of the Mathematic Department

Abstract
Now take into consideration develop robot systems, aviation and comics' systems.Therefor highly of present interest study to part mathematics as theory rational management, in particular, variational calculation, which is base this theory. Quality practical publish is insufficiently. Therefor authors spare attention problems by variational calculation make use of own labours and labours [1-5]. This labour is useful engineering, students, post-graduate students attending as theory rational managements technical systems.

Keywords: Euler's equation, extreme, functional, management, rational, system, theory, variational calculation


Библиографическая ссылка на статью:
Абдрахманов В.Г., Рабчук А.В., Князева Н.Г. Решение некоторых задач вариационного исчисления. Часть 1 // Современная педагогика. 2013. № 2 [Электронный ресурс]. URL: http://pedagogika.snauka.ru/2013/02/1407 (дата обращения: 01.10.2017).

1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Дан функционал J[y]= (1)

при граничных условиях у (а )= у , у (в) = у (2)

Задача отыскания экстремума этого функционала называется простейшей задачей вариационного исчисления. Основой для решения задачи является утверждение: Если функция у(х) дает экстремум (1) то она является решением уравнения Эйлера


Решение уравнения Эйлера – это семейство кривых у = у (х, С ) которые называются экстремалями функционала (1). Константы С и С находятся из граничных условий (2).


Пример 1. .




(Рассматриваем как функцию трех переменных x, y, y).

а)
;

б) ;

в)
.

Составляем уравнение Эйлера

. Интегрируем дважды:

экстремали (множество кривых).

Используя краевые условия, находим

 

1 = C, 1= -216/6 +6 C+ C

 

.

Единственная экстремаль    

 

Пример 2.

□ Уравнение Эйлера

или, с учетом .

Используем краевые условия:

e = C- C, 0= C – C/e -1, откуда C=-е, C=0.

Единственная экстремаль .■


2. ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО 
ИСЧИСЛЕНИЯ.

1. Дан функционал вида


Если функция у(х) дает экстремум данному функционалу , то она является решением уравнения Эйлера-Пуассона

 


Пример 3. .

. Уравнение Эйлера-Пуассона, т.е. отсюда , .

Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:

D = 0,

A + B + C + D = 0, откуда A = 1, B = – 2, C= 1, D = 0.

3A + 2B + C= 0,

C = 1.

Получаем единственную экстремаль

.

Пример 4.

.

.

Уравнение Эйлера-Пуассона: ,

,

так что уравнение имеет вид

,

y=CCOSX + CSINX + C e + Ce

y = – CSINX + CCOSX + C e – Ce

Используем граничные условия:

C +C+C =1,

C+C- C = 0, из системы C==1, C=0, C =0, C=0.

C+Ce+Ce =0,

-C +Ce-Ce =-1.

Единственная экстремаль . ■

2. Дан функционал вида

 


Граничные условия

Экстремали находим из системы уравнений Эйлера

Пример 5.
, , .

, , , ,

, , .

Система уравнений Эйлера имеет вид:      y – y =0,

y – y = 0.

Рассмотрим второе уравнение , отсюда , аналогично .

Для определения констант используем граничные условия

C+C=1 откуда.

Ce+ C/e = e

C+C=1, C+ C/e = 1/e

откуда .

Получаем . ■

Задачи для самостоятельного решения

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6.


.

7. ,


.

8.


.

9.


.


ЗАДАНИЕ 1

а) Вычислить функционал для заданных функций и .

б) Написать уравнение Эйлера для функций (Таблица 1).

Таблица 1- Исходные значения.

N

1

2

3

4

5

6

1

2

0

2

3

1

2

4

1

2

5

6

7

8

9

0

10

1

2

11

1

2

12

1

2

13

0

1

14

0

1

15

1

2

16

0

1

17

1

2

18

0

19

1

2

20

1

2

21

1

2

22

23

1

2

24

25

0

1

ЗАДАНИЕ 2

    Найти экстремали функционала

,

где номер по списку.


ЗАДАНИЕ 3


Найти экстремали функционала


N – Номер по списку.


3. ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ

Найти

Решение: К уравнению Эйлера добавляют естественные краевые условия


Замечание: Если один конец закреплен, например у(а) = с , – то естественное краевое условие записывают для другого конца

Пример 6.


Решение: Уравнение Эйлера

-2y + 4 соsx –


Найдем производную



На правом конце



В точке =
из данного равенства и используя граничные условия у(0)=0 , определяем


Экстремаль

4. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Найти

Решение:

1. Из уравнения Эйлера находим



2. Запишем условия трансверсальности (условия, что концы кривой лежат на заданных кривых).


Добавляя уравнения связи


решаем совместно, определяем и концы

Замечание: Если заданы обычные граничные условия для одного конца,

то условия трансверсальности записывается только для другого конца кривой.

Примеры 7.

Пример 1. .


.

Уравнение Эйлера .

Условие трансверсальности

т.к. то

C + (-1- C) 2 C = 0,

C 0 +C =0,

Cx + C = – x – 1.

Их системы находим C = -2 , C =0, x = 1.

Ответ:
.

Пример 8. .

.

Уравнение Эйлера , тогда



,

тогда .

Условия трансверсальности совместно с уравнениями связи, учитывая, что и :

+ (2x – C)C/ =0,

+1(1- C ) C/=0,

Cx +C = x,

Cx + C = x – 5.

Решаем совместно и получаем

.

Ответ: .

Пример 9. Найти экстремали функционала

.

1. Уравнение Эйлера ,

.

  1. Естественное краевое условие в точке
    .

    Получаем систему

    2(0/2 +C) = 0,

    1/4 + C 1 + C = 0.


    .

         Задачи для самостоятельного решения

    1. .

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    10.


    ЗАДАНИЕ 4


    Дано: и .

    Найти экстремаль и концы отрезка , (если , тогда ).

     

    ЗАДАНИЕ 5

    Дано: и . Найти экстремаль (Таблица 2).

    Таблица 2- Исходные данные для задания 4 и 5

    N

    А

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1.

    4

    2.

    5

    3.

    1

    4.

    3

    5.

    5

    6.

    1

    7.

    0

    8.

    4

    9.

    6

    10.

    1

    11.

    2

    12.

    3

    13.

    7

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    14.

    2

    15.

    3

    16.

    6

    17.

    8

    18.

    9

    19.

    3

    20.

    5

    21.

    2

    22.

    7

    23.

    5

    24.

    7

    25.

    3


Библиографический список
  1. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 488 с.
  2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1984. – 228 с.
  3. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А.И. Вариационное исчисление(задачи и упражнения). – М.: Наука, 1984. – 191 с.
  4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 т. – М.: Высшая школа, 1986. – т. 2. – 414 с.
  5. Вуколов Э.А. и др. Сборник задач по математике для втузов. – М.: Наука, 1984. – 606 с.


Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: